Proofs: A Long-Form Math っていったいどんな本なの？

デート大学による『Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook』のご紹介​

「Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook」は、数学の証明に関する新しいアプローチを提案する、従来の教科書とは一線を画す作品です。著者のJay Cummingsは、「長編教科書（long-form textbooks）」という新しいスタイルの教科書シリーズの一部として、この本を執筆しています。このシリーズの特徴は、典型的な教科書の構成—定義、定理、証明、そして繰り返しというスタイル—とは異なり、もっと親しみやすく、直感的に理解できる方法で数学を解説している点です。

特徴とアプローチ​

本書は、数学の証明を理解するための「直感的な証明」「直接的な証明」「集合論」「数学的帰納法」「論理」「逆命題」「反証法」「関数と関係」など、多くのテーマを扱っていますが、特にその書き方に特徴があります。伝統的な教科書では、証明は簡潔に書かれがちですが、本書では理解を深めることを重視しており、証明が簡潔ではなく、学生が自分で証明にたどり着く手助けをするために、証明の前に「スクラッチワーク」や証明のスケッチが提供されます。このように、学生がどのようにして証明を考えつくか、その過程を示し、大きな視点で理解を促すことを目的としています。

また、本書は非常にリラックスした、会話的な文体で書かれており、時折ユーモアを交えながら説明を進めています。これにより、数学を学ぶことへの障壁が下がり、読者がより自然に内容を吸収できるようになっています。

「Long-Form」スタイルの特徴​

「Long-Form」スタイルは、従来の「sage on the stage（ステージ上の賢者）」型の教育スタイルに反しており、これまでの教科書が「sage on the page（ページ上の賢者）」として簡潔な定義と証明を提示するに対して、Cummingsのアプローチはもっと深い解説や動機付けを行い、学生が自らのペースで学ぶことを促しています。このスタイルは、特に高額な教材や商業主義的な教育に疑問を抱く著者の思いが込められており、教材の価格が高騰する中で、質の高い教材をより手軽に手に入れられるようにという意図が込められています。実際、500ページの本書は、Amazonでわずか16ドルで手に入れることができ、学生や学者にとって非常にコストパフォーマンスの良い教材となっています。

数学の理解と応用の広がり​

本書の特徴的な点は、各章の終わりに「演習問題」や「オープンクエスチョン」があり、さらに「プロ・ティップス」として、著者が初めて証明の授業を受けた際に知っておきたかったことや、数学的文化に関するコメント、勉強法、歴史的なノートなども提供している点です。これにより、単に数学を学ぶだけでなく、数学の深い理解や、数学的な思考法を育むことを目指しています。

さらに、各章の後に6〜8ページにわたって、数学の他の分野に関する紹介が含まれており、例えば「ラメー理論」「数論」「トポロジー」「実解析」「ビッグデータ」「ゲーム理論」「順序」「群論」などが取り上げられています。これらの紹介は、数学の他の領域に触れる良い機会を提供し、学生が数学の応用範囲を広く理解するための手助けとなります。

各章の紹介​

『Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook』は、数学の証明方法を深く掘り下げて学ぶための教科書です。各章は、数学的な理論や証明手法を直感的に理解し、具体的な問題を解決するための技術を提供します。以下は、各章の日本語での概要です。

1. Intuitive Proofs (直感的な証明)​

この章では、証明を直感的に理解するための基本的な問題とアプローチを紹介します。

• 1.1 Chessboard Problems: チェス盤を用いた問題。具体的な例を通じて、証明の直感的理解を深めます。
• 1.2 Naming Results: 数学的な結果の名前付け方法。定理や命題をどのように名付けるか、そしてそれが証明にどう影響するかを探ります。
• 1.3 The Pigeonhole Principle: 鳩の巣原理。限られた場所に物を入れるときの理論を、実生活の問題にどう応用するかを学びます。
• 1.4 Bonus Examples: 他の直感的な証明問題を通じて、学んだ理論を実際に使う練習をします。

2. Direct Proofs (直接的証明)​

直接的証明は、定義や公理を元に、必要な結論に直接到達する方法です。

• 2.1 Working From Definitions: 定義を基に証明を構築する方法。
• 2.2 Proofs by Cases: 場合分けを使った証明法。
• 2.3 Divisibility: 整数の割り算に関する証明。
• 2.4 Greatest Common Divisors (GCD): 最大公約数に関する証明。
• 2.5 Modular Arithmetic: 剰余算術の証明。
• 2.6 Bonus Examples: 直接的証明の応用例。

3. Sets (集合論)​

集合の基本的な操作や性質を証明する方法を学びます。

• 3.1 Definitions: 集合の定義と基本的な性質。
• 3.2 Proving A ⊆ B: 集合AがBの部分集合であることの証明。
• 3.3 Proving A = B: 集合AとBが等しいことの証明。
• 3.4 Set Operations: 集合の操作（和、積、差など）に関する証明。
• 3.5 Two Final Topics: 集合論のさらに深いトピック。
• 3.6 Bonus Examples: 集合論に関連する問題を通じた理解の深化。

4. Induction (帰納法)​

数学的帰納法を使った証明方法を学びます。

• 4.1 Dominoes, Ladders and Chips: ドミノや梯子を使った帰納法の直感的理解。
• 4.2 Examples: 具体的な帰納法の問題を扱います。
• 4.3 Strong Induction: 強帰納法の理論と実践。
• 4.4 Non-Examples: 帰納法が使えない場合について学びます。
• 4.5 Bonus Examples: 帰納法の応用例。

5. Logic (論理)​

論理的な推論とその証明技術について学びます。

• 5.1 Statements: 命題の定義と基本的な操作。
• 5.2 Truth Tables: 真理値表を使った論理の証明方法。
• 5.3 Quantifiers and Negations: 量化子と否定の論理的意味。
• 5.4 Proving Quantified Statements: 量化された命題の証明法。
• 5.5 Paradoxes: 矛盾を含む問題とその解決方法。
• 5.6 Bonus Examples: 論理的証明に関する実践問題。

6. The Contrapositive (対偶)​

命題の対偶を使った証明方法に焦点を当てます。

• 6.1 Finding the Contrapositive of a Statement: 命題の対偶を求める方法。
• 6.2 Proofs Using the Contrapositive: 対偶を利用した証明法。
• 6.3 Bonus Examples: 対偶を使った証明の問題。

7. Contradiction (背理法)​

背理法（間接的証明）を使った証明方法について学びます。

• 7.1 Two Warm-Up Examples: 背理法の導入例。
• 7.2 Examples: 背理法を使った具体的な証明問題。
• 7.3 The Most Famous Proof in History: 歴史的に有名な証明（例えば、無理数の証明）。
• 7.4 The Pythagoreans: ピタゴラスの定理の証明。
• 7.5 Bonus Examples: 背理法の実践問題。

8. Functions (関数)​

関数の性質とその証明方法を学びます。

• 8.1 Approaching Functions: 関数の基礎的な理解。
• 8.2 Injections, Surjections and Bijections: 関数の単射、全射、全単射について。
• 8.3 The Composition: 関数の合成について。
• 8.4 Invertibility: 逆関数の存在とその証明。
• 8.5 Bonus Examples: 関数に関する証明問題。

9. Relations (関係)​

関係の性質、特に同値関係について学びます。

• 9.1 Equivalence Relations: 同値関係の定義と性質。
• 9.2 Abstraction and Generalization: 抽象化と一般化の手法。
• 9.3 Bonus Examples: 関係に関する証明問題。

この教科書は、数学的証明の技術を段階的に学び、理解を深めるために設計されています。各章には、基本的な概念から高度な証明技法に至るまで、豊富な例と演習が含まれています。

「Real Analytics」との関連​

「Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook」の姉妹書として、同じく「A Long-Form Mathematics」シリーズの一環である「Real Analytics」があります。「Real Analytics」は、実数解析の分野に焦点を当てた教科書で、こちらも数学的な直感や理解を深めることを目的としています。「Proofs」と同じく、明快で包括的な解説が特徴で、数学の抽象的な概念を学生にとってアクセスしやすいものにしようという意図が込められています。

まとめ​

「Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook」は、従来の証明中心の教科書と比較して、より親しみやすく、直感的な理解を促進する内容となっており、学生に対して、数学の学び方や思考方法を広く提供する貴重な教材です。また、低価格で手に入れることができるため、学びのハードルを下げ、多くの学生にとって有用なリソースとなっています。

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