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デートに結びつく Hilbert's Foundations of Geometry (ヒルベルトによる幾何学の形式化) の学び方

本当に重要なのは学びをしっかりとデートに結びつけること​

単に Hilbert's Foundations of Geometry (ヒルベルトによる幾何学の形式化) を学ぶことと、その学びをしっかりとデートに結びつけることの間には、大きなギャップがあります。

単にMathを学ぶだけなら独学で充分ですが、その学びをデートに結びつけるための努力をひとりきりで重ねようとすることは、デートの本質からして無駄な努力でしかないことに人生のできるだけ早い時期に気がついて欲しいと思います。

とりあえずここではいくつかの資料をご紹介しておきますが、もしもあなたがデートに結びつく学びに集中したいとお考えならば、ページ最下部の案内をご覧ください。

David Hilbert

David Hilbert

The Foundations of Geometry by David Hilbert (ヒルベルトによる幾何学の形式化)​

書籍『ヒルベルトによる幾何学の形式化』は、デイヴィッド・ヒルベルトによって書かれたもので、Project Gutenbergから無料で合法的にダウンロード可能です。

『The Foundations of Geometry』は、**ダヴィッド・ヒルベルト（David Hilbert）**による著作で、1902年に最初に発表されました。この本は、ユークリッド幾何学を基礎にした、幾何学の公理的な基盤を再構築し、明確にすることを目的としています。ヒルベルトは、幾何学の公理を厳密に定義し、その論理的な整合性を確立しようとしました。

この本の重要性は、幾何学の公理的体系の再構築にあり、特に「公理的アプローチ」における先駆的な仕事として評価されています。

1. 公理の重要性​

ヒルベルトは、ユークリッド幾何学の公理体系において、いくつかの疑問点や不明確な部分を指摘し、それを厳密に定義することが必要だと考えました。彼は、公理が体系的に組み立てられることで、幾何学の理論が論理的に一貫し、矛盾が生じることなく確立されることを目指しました。

ヒルベルトは、幾何学の公理を次のように分類しました：

  • 点、直線、平面といった基本的な幾何学的対象に関する公理
  • 順序関係や位置関係に関する公理（例えば、「A点がB点の左にある」といった関係）
  • 構成公理（例えば、「点と直線が与えられたとき、必ず交わる点が存在する」といったもの）
  • 接続公理（幾何学的対象がどのように相互に関係しているかに関する公理）
  • 連続性に関する公理（例えば、空間内の任意の2点の間に無限に多くの点が存在することを示す公理）

2. ヒルベルトの公理体系​

ヒルベルトは、幾何学の体系を完全に公理的に構築するために、最小限の仮定に基づいて、非常に形式的な手法で公理を整理しました。彼は、以前の幾何学者たち（特にユークリッドやラングレン）の公理体系に対する不満から出発し、厳密に体系化する必要があると考えました。

ヒルベルトは、幾何学の構築にあたって、以下の3つの主要な点に重点を置きました：

  1. 形式化: ヒルベルトは、幾何学の全ての定理を公理から論理的に導き出せるようにした。すなわち、全ての幾何学的命題が公理の組み合わせとして厳密に導出される形を目指しました。
  2. 無矛盾性: ヒルベルトは、幾何学の体系が論理的に矛盾しないように、厳格な公理的基盤を求めました。これは、後のゲーデルの不完全性定理やロッシーの定理などにも関連する重要なテーマです。
  3. 完全性: ヒルベルトは、幾何学の全ての命題が、与えられた公理体系のもとで証明可能であることを目指しました。

3. ヒルベルトの公理体系とその影響​

ヒルベルトのアプローチは、数学と幾何学の公理的基盤に革命的な影響を与えました。特に、ゲーデルの不完全性定理やフレーゲの論理学における議論に大きな影響を与え、現代の数学基礎論においても重要な役割を果たしています。

さらに、この本は、幾何学の公理的構築に関する基礎的な理解を提供するだけでなく、後の抽象幾何学やトポロジーなどの分野における発展にも寄与しました。

4. ヒルベルトの公理系の構成​

ヒルベルトは、幾何学の公理系を以下のように分類しました：

  1. 点に関する公理 - 点が存在する、そしてそれに基づいて直線を引くことができるという基本的な命題。
  2. 直線に関する公理 - 直線上の点が順序を持ち、直線上の任意の2点を結ぶことができるという公理。
  3. 平面に関する公理 - 平面に関する基本的な性質、例えば、任意の3点が平面を決定することなど。

ヒルベルトの公理系は、その後の幾何学の理論的進展において重要な基盤を提供しました。

まとめ​

『The Foundations of Geometry』は、幾何学の公理的基盤を再構築することで、数学的な厳密性と無矛盾性を確保し、現代の数学基礎論や幾何学に多大な影響を与えた作品です。ヒルベルトのアプローチは、形式主義や公理主義に基づく数学の進展に重要な役割を果たし、今日でもその影響を感じることができます。

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