What You Can Learn from Matrix Analysis and Applied Linear Algebra

A Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Guide by the University of Dating​

Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Second Edition
Author: Carl D. Meyer

本書の概要​

本書『Matrix Analysis and Applied Linear Algebra』第2版は、線形代数と行列解析の基礎から応用までを、豊富な例・直感的な図解・実用的な問題を通じて包括的に解説する教科書です。理論の厳密さと計算技術のバランスを重視し、大学初級から中級レベルの読者を対象に、段階的に理解を深められる構成となっています。

内容は、連立一次方程式、行列の基本演算、ベクトル空間、内積と直交性、固有値問題、特異値分解、最小二乗法、確率行列とマルコフ連鎖まで広くカバーしており、理工系やデータサイエンス、応用数学分野への実践的な導入として最適です。

また、計算の背後にある理論的意味を重視し、「なぜそうするのか」「どのように応用できるのか」に焦点を当てている点が本書の特徴です。行列に関する本質的な理解と応用力を育成するための、信頼できる一冊です。

第1章：線形方程式 (Linear Equations)​

線形方程式系の解法とその理論を扱う章です。

1.1 はじめに (Introduction)​

線形方程式系は、科学技術や経済学など多くの分野で現れます。この節では、線形方程式の基本的な概念とその重要性について概説します。

1.2 ガウスの消去法と行列 (Gaussian Elimination and Matrices)​

ガウスの消去法は、線形方程式を解くための基本的な手法であり、行列を用いて効率的に計算できます。この節では、行列の基本操作とともに、ガウスの消去法の手順を詳しく説明します。

1.3 ガウス・ジョルダン法 (Gauss–Jordan Method)​

ガウス・ジョルダン法は、ガウスの消去法を改良したもので、行列を単位行列に変換することで解を求めます。この節では、ガウス・ジョルダン法のアルゴリズムとその利点について解説します。

1.4 二点境界値問題 (Two-Point Boundary Value Problems)​

物理学や工学の問題では、境界条件が与えられた微分方程式を解く必要があります。この節では、二点境界値問題の定式化とその解法について説明します。

1.5 ガウスの消去法を効果的に使う (Making Gaussian Elimination Work)​

ガウスの消去法を効率的に実行するためのテクニックや、計算の安定性を高める方法について解説します。

1.6 条件数の悪い系 (Ill-Conditioned Systems)​

数値計算において、条件数が大きい系は解が不安定になる可能性があります。この節では、条件数の概念とその影響について詳しく説明します。

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第2章：長方形系と階段行列 (Rectangular Systems and Echelon Forms)​

長方形行列（行数と列数が異なる行列）を扱い、その解法と性質を探ります。

2.1 行階段形と階数 (Row Echelon Form and Rank)​

行階段形は、行列の簡約化された形であり、階数は行列の線形独立な行の数を示します。この節では、行階段形への変換方法と階数の計算方法を説明します。

2.2 既約行階段形 (Reduced Row Echelon Form)​

既約行階段形は、行階段形をさらに簡約化した形であり、解の一意性を示すのに有用です。この節では、既約行階段形への変換手順とその特徴について解説します。

2.3 線形系の整合性 (Consistency of Linear Systems)​

線形方程式系が解を持つかどうかは、その整合性によって決まります。この節では、整合性の判定方法とその理論的背景を説明します。

2.4 同次系 (Homogeneous Systems)​

同次系は、右辺がゼロの線形方程式系であり、常に少なくとも一つの解（零解）を持ちます。この節では、同次系の解の構造とその性質について詳しく解説します。

2.5 非同次系 (Nonhomogeneous Systems)​

非同次系は、右辺がゼロでない線形方程式系であり、解が存在するかどうかは整合性に依存します。この節では、非同次系の解法とその理論について説明します。

2.6 電気回路 (Electrical Circuits)​

電気回路の解析は、線形方程式系を解く問題としてモデル化できます。この節では、オームの法則やキルヒホッフの法則を用いて、電気回路の解析方法を解説します。

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第3章：行列代数 (Matrix Algebra)​

行列の基本的な演算とその性質を学ぶ章です。

3.1 古代中国からアーサー・ケイリーへ (From Ancient China to Arthur Cayley)​

行列の概念は、古代中国の算術書に遡ることができます。この節では、行列の歴史的背景と発展について紹介します。

3.2 加算と転置 (Addition and Transposition)​

行列の加算は、対応する要素同士を加える操作です。転置は、行と列を入れ替える操作です。この節では、加算と転置の定義と性質について説明します。

3.3 線形性 (Linearity)​

行列演算は線形性を持ち、加算とスカラー倍に関して閉じています。

では、第3章の続きから第4章の終わりまで、順を追って詳しく日本語で解説していきます。

3.4 なぜこの方法でやるのか（Why Do It This Way）​

この節では、なぜ行列の定義や演算が現在の形式で構築されているのかという哲学的・実用的な動機について掘り下げます。特に、ベクトル空間の写像（線形変換）との整合性や計算の効率性に焦点が当てられます。

3.5 行列の乗法（Matrix Multiplication）​

行列の乗法は、ベクトルや他の行列に線形変換を施すための基本操作です。ここでは、定義、計算方法、そして視覚的解釈（例えば、行列がベクトルをどう「動かす」のか）について詳しく説明されます。

3.6 行列乗法の性質（Properties of Matrix Multiplication）​

行列の積が可換でない（AB ≠ BA であることが多い）など、日常の数とは異なる性質を持つ点に注意が必要です。この節では、結合法則、分配法則、単位行列との関係など、重要な性質が体系的に解説されます。

3.7 行列の逆行列（Matrix Inversion）​

ある行列 $A$ に対して、逆行列 $A^{-1}$ が存在すれば、$AA^{-1} = I$（単位行列）になります。この節では、逆行列の存在条件（正則性）と計算方法（ガウス・ジョルダン法など）を扱います。

3.8 和の逆行列と感度（Inverses of Sums and Sensitivity）​

この節では、複数の行列の和の逆行列がどうなるか、また微小な行列の変化が逆行列にどの程度影響を与えるか（数値的感度）について詳述されます。数値解析の観点でも重要です。

3.9 初等行列と同値性（Elementary Matrices and Equivalence）​

初等行列は、基本的な行操作を表現する行列であり、行列の変換（行基本変形）を行う際に用います。初等行列を用いることで、行列の同値性や可逆性の理解が深まります。

3.10 LU分解（The LU Factorization）​

行列を、下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ の積に分解する方法で、ガウスの消去法に基づいています。数値的に効率的な解法として、連立一次方程式や行列の反復計算に広く使われます。

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第4章：ベクトル空間（Vector Spaces）​

線形代数の理論的基盤となる「ベクトル空間」とその性質について詳しく扱います。

4.1 空間と部分空間（Spaces and Subspaces）​

ベクトル空間とは、加算とスカラー倍に関して閉じている集合です。部分空間はベクトル空間の中で、同じ演算に対して閉じた部分集合です。ここでは、例として行空間、列空間、零空間などを紹介し、それぞれの性質を探ります。

4.2 4つの基本部分空間（Four Fundamental Subspaces）​

行列 $A$ に対して、次の4つの部分空間を定義します：

• 列空間（Column space）
• 零空間（Null space）
• 行空間（Row space）
• 左零空間（Left null space）

これらの空間は、行列の構造や線形系の解に深く関係しており、それぞれの次元（階数と欠損次元）についても解説されます。

4.3 線形独立性（Linear Independence）​

あるベクトル集合が線形独立であるとは、どのベクトルも他のベクトルの線形結合で表せないことを意味します。この節では、線形独立性の定義と判定法、またその応用について学びます。

4.4 基底と次元（Basis and Dimension）​

ベクトル空間の基底は、その空間内のすべてのベクトルを一意的に線形結合で表せる最小の生成集合です。次元は基底のベクトルの数を表します。空間の構造を理解するうえで極めて重要な概念です。

4.5 階数についてさらに（More about Rank）​

階数（rank）は、線形独立な行または列の最大数であり、行列の情報量を表します。この節では、階数の様々な同値な定義や、計算方法、ランク不等式などを扱います。

4.6 古典的最小二乗法（Classical Least Squares）​

過剰決定された線形系（方程式の数が未知数より多い）に対して、最小二乗法を用いることで近似解を求めます。この節では、その幾何学的な意味と、正規方程式を通じた導出を扱います。

4.7 線形変換（Linear Transformations）​

行列は、ベクトル空間から別の空間への線形変換を表します。この節では、線形変換の定義、行列との対応関係、核（kernel）や像（image）などの概念を学びます。

4.8 基底の変換と相似性（Change of Basis and Similarity）​

異なる基底間でのベクトル表現の変換や、行列が基底変換によってどのように変化するか（相似行列）について解説します。これにより、行列の本質的な構造をより深く理解することができます。

4.9 不変部分空間（Invariant Subspaces）​

線形変換が特定の部分空間を保つ場合、その部分空間は不変部分空間と呼ばれます。固有空間やジョルダン標準形と密接な関係があり、特に固有値問題の理解に役立ちます。

第5章：ノルム、内積、直交性​

(Norms, Inner Products, and Orthogonality)

この章では、ベクトルや行列に対して「大きさ」や「角度」を定義するための道具として、ノルム（距離）や内積（角度・直交性）が導入され、それに基づいた理論や応用が扱われます。

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5.1 ベクトルノルム (Vector Norms)​

ベクトルノルムとは、ベクトルの「長さ」または「大きさ」を表す関数です。ノルムは以下の性質を満たします：

• 非負性（0 以上）
• スカラー倍に対する同次性
• 三角不等式
• 0 ノルム ⇔ ゼロベクトル

代表的なベクトルノルムには以下があります：

• 1-ノルム（マンハッタン距離）：$\|x\|_1 = \sum |x_i|$
• 2-ノルム（ユークリッド距離）：$\|x\|_2 = \sqrt{\sum x_i^2}$
• ∞-ノルム（最大値）：$\|x\|_\infty = \max |x_i|$

5.2 行列ノルム (Matrix Norms)​

行列ノルムは、ベクトルノルムに基づいて定義される行列の「大きさ」の指標です。目的に応じて様々な定義があります：

• 誘導ノルム（induced norm）： $\|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

• フロベニウスノルム： $\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i,j} |a_{ij}|^2}$ 行列を1つの大きなベクトルとみなして2-ノルムをとるもの。

行列ノルムは、行列の条件数や数値的不安定性の指標として重要です。

5.3 内積空間 (Inner-Product Spaces)​

内積（dot product）とは、2つのベクトル間の角度や直交性を定義する関数で、ベクトルの相関関係を測る指標でもあります。

• 実ベクトル空間では： $\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i$
• 複素ベクトル空間では： $\langle x, y \rangle = \sum x_i \overline{y_i}$

内積から自然にノルム（長さ）が導かれます： $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

5.4 直交ベクトル (Orthogonal Vectors)​

2つのベクトルが直交（orthogonal）しているとは、内積が0であることを意味します。つまり、互いに「独立していて干渉しない」状態です。

• $\langle x, y \rangle = 0$ ⇔ $x \perp y$

この性質は、直交基底や直交行列の理論、最小二乗法、フーリエ変換などにおいて基本的です。

5.5 グラム–シュミットの手続き (Gram–Schmidt Procedure)​

線形独立なベクトル集合を、互いに直交するベクトル集合に変換する方法。逐次的に他のベクトル成分を除去して直交化していきます。

• 与えられた基底 $\{v_1, v_2, ..., v_n\}$
• 新しい直交基底 $\{u_1, u_2, ..., u_n\}$ を構築

最終的に直交正規基底（orthonormal basis）が得られ、計算の安定性や効率性が向上します。

5.6 ユニタリ・直交行列 (Unitary and Orthogonal Matrices)​

• 直交行列（実数）： $Q^T Q = I$
• ユニタリ行列（複素数）： $Q^* Q = I$

これらの行列は、ベクトルの長さや角度を保ったまま変換（回転や反射）を行います。数値計算での安定性が高く、QR分解などで重要です。

5.7 直交変換（Orthogonal Reduction）​

行列を直交行列で変換して、より単純な形（例えば三角行列や対角行列）に変形する手法。例えば、QR分解、ユニタリ対角化などがこの節に含まれます。

5.8 離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform）​

信号処理や画像解析で重要なフーリエ変換を、有限次元ベクトル空間に拡張したもの。直交基底に基づいて関数や信号を周波数成分に分解します。

• フーリエ行列はユニタリ行列であるため、変換が直交変換と見なせます。

5.9 補空間（Complementary Subspaces）​

ある空間の補空間とは、その空間と直交し、和として全空間を張る空間です。

• $V = U \oplus U^\perp$（直交直和）

この考えは、最小二乗法や直交射影の理論的根拠になります。

5.10 像と零空間の分解（Range-Nullspace Decomposition）​

任意のベクトル空間を、写像の像（range）と零空間（nullspace）に分解できます。これにより、線形方程式の解空間の構造を明確に理解できます。

5.11 直交分解（Orthogonal Decomposition）​

ベクトルを、ある部分空間への射影とその直交補空間の成分に分解する方法です。

• $x = x_{\parallel} + x_{\perp}$
• 例：最小二乗解は、解空間への直交射影とみなせる

5.12 特異値分解（Singular Value Decomposition, SVD）​

任意の行列を以下の形に分解する強力なツール： $A = U \Sigma V^T$

• $U$, $V$：直交行列（列は直交基底）
• $\Sigma$：対角行列（特異値）

SVDは、次元削減、雑音除去、画像圧縮などの応用に不可欠です。

5.13 直交射影（Orthogonal Projection）​

ある部分空間への最短距離の点を射影として定義。最小二乗法の理論的土台であり、誤差を最小にする解を得るために使われます。

5.14 なぜ最小二乗法か？（Why Least Squares?）​

最小二乗法が広く使われる理由は、誤差の「エネルギー（2乗）」を最小にすることで、統計的にも幾何学的にも最も自然な近似となるためです。

5.15 部分空間間の角度（Angles between Subspaces）​

部分空間の間の「距離感」や「類似度」を測るために、角度の概念が拡張されます。これは、主成分分析（PCA）などにも応用されます。

第6章：行列式 (Determinants)​

行列式は、行列に対して定義されるスカラー量であり、面積・体積の拡大率、線形独立性、逆行列の存在など、行列の構造に深く関係しています。

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6.1 行列式 (Determinants)​

この節では、行列式の基本定義と、その直感的な意味について解説されます。

• 2次・3次の行列では、展開公式で計算され、幾何学的には「面積」「体積」に対応。

• n次の行列では、「余因子展開（cofactor expansion）」により定義されます：

  $$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})$$

  ここで $A_{ij}$ は i行j列を除いた小行列。

行列式が0でない ⇔ 正則（可逆）行列 行列式が0 ⇔ ランクが低い（線形従属な行あり）

また、行列式は線形変換の「体積変化率」を示します。

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6.2 行列式のさらなる性質 (Additional Properties of Determinants)​

この節では、行列式に関する性質が詳述されます：

• 基本操作と行列式：

  • 行の交換：符号が変わる
  • 行の定数倍：その定数倍される
  • 行の加算：変わらない

• 行列の積と行列式：

  $$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$

• 転置との関係：

  $$\det(A^T) = \det(A)$$

• 三角行列の行列式： 対角要素の積

• 行列の逆行列と行列式：

  $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$

これらの性質は、行列の性質を計算や理論から判断する上で非常に有用です。

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第7章：固有値と固有ベクトル (Eigenvalues and Eigenvectors)​

行列がベクトルを伸縮するだけで向きを変えないような特別な方向（固有ベクトル）と、その時の倍率（固有値）を調べます。微分方程式や機械学習、物理現象の解析などに広く応用されます。

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7.1 固有系の基本性質 (Elementary Properties of Eigensystems)​

• 定義：

  $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}$$

  ここで $\vec{v}$ は固有ベクトル、$\lambda$ は固有値。

• 固有値は、行列 $A - \lambda I$ の行列式がゼロとなる条件から求められる：

  $$\det(A - \lambda I) = 0$$

• 固有多項式、代数的重複度（algebraic multiplicity）、幾何的重複度（geometric multiplicity）の概念もここで登場します。

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7.2 相似変換による対角化 (Diagonalization by Similarity Transformations)​

ある行列 $A$ が対角化可能であるとは、ある可逆行列 $P$ が存在して、

$$P^{-1}AP = D$$

の形にできることを意味します（$D$ は対角行列）。

• 対角化可能 ⇔ 固有ベクトルが線形独立で、n個存在する
• 対角化により、行列のべき乗や指数関数が計算しやすくなる

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7.3 対角化可能な行列の関数 (Functions of Diagonalizable Matrices)​

対角化可能な行列 $A = PDP^{-1}$ に対して、行列の関数（例えば $A^k, e^A$ など）は次のように簡単に扱えます：

$$f(A) = P f(D) P^{-1}$$

この性質により、指数関数的な時間発展や、行列の補間・近似などが効率的に処理できます。

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7.4 微分方程式系 (Systems of Differential Equations)​

一次の線形常微分方程式系は、固有値と固有ベクトルによって解が構成される場合があります：

$$\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$$

この場合、解は形式的に：

$$\vec{x}(t) = e^{At}\vec{x}_0$$

対角化やジョルダン標準形を使うことで、一般解の構成が可能になります。

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7.5 正規行列 (Normal Matrices)​

正規行列とは、$AA^* = A^*A$ を満たす行列であり、ユニタリ行列によって対角化可能です。

• エルミート行列（自己共役）
• スケューエルミート行列（反自己共役）
• ユニタリ行列（長さ保存）

などが含まれます。これらは、固有ベクトルが直交するという性質を持ち、数値的に安定です。

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7.6 正定値行列 (Positive Definite Matrices)​

正定値行列 $A$ は、任意の非ゼロベクトル $x$ に対して：

$$x^T A x > 0$$

となる行列。全ての固有値が正である必要があります。これらは最適化理論やコーンの理論、機械学習（カーネル法）で特に重要です。

ありがとうございます。では、第7章の続き（7.7〜7.11）と第8章「ペロン–フロベニウス理論」について詳しく日本語で解説していきます。

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第7章（続き）：固有値と固有ベクトル​

(Eigenvalues and Eigenvectors)

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7.7 冪零行列とジョルダン構造 (Nilpotent Matrices and Jordan Structure)​

• 冪零行列 (Nilpotent matrix) とは、ある整数 $k$ に対して $A^k = 0$ となる行列です。これはジョルダン標準形（Jordan form）において、0の対角成分と1の上三角成分をもつブロックを形成します。
• この節では、冪零行列を通じて、非対角化可能な行列の構造、つまりジョルダン形を理解する土台が築かれます。

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7.8 ジョルダン標準形 (Jordan Form)​

• 行列が対角化できない場合でも、「ジョルダン標準形」という準対角的な形に変換することが可能です：

  $$A = PJP^{-1}, \quad J = \text{Jordan form}$$

• ジョルダンブロックは、固有値が対角に並び、1がその直上にある上三角行列。

• 代数的重複度と幾何的重複度の違いによって、ジョルダンブロックのサイズが決まります。

• 複雑な行列でも、ジョルダン標準形により解析が可能になります。

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7.9 非対角化可能な行列の関数 (Functions of Nondiagonalizable Matrices)​

• ジョルダン標準形を使えば、非対角化可能な行列に対しても関数（例：指数関数、行列のべき、log関数など）を定義できます。

• 行列 $A = PJP^{-1}$ に対して、次のように定義されます：

  $$f(A) = P f(J) P^{-1}$$

• $f(J)$ はジョルダンブロックに関数を適用した行列であり、微分やテイラー展開が活用されます。

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7.10 差分方程式、極限、および可算性 (Difference Equations, Limits, and Summability)​

• 離散時間の線形システム（差分方程式）を固有値の視点から解析します：

  $$x_{k+1} = A x_k$$

• 固有値の大きさによって、解が発散・収束・振動するかが決定されます。

• 行列の冪 $A^k$ の極限や、和 $\sum_{k=0}^{\infty} A^k$ の収束性が議論され、マルコフ連鎖や安定性の議論にもつながります。

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7.11 最小多項式とクライロフ法 (Minimum Polynomials and Krylov Methods)​

• 最小多項式：行列 $A$ に対して、最小次数の多項式 $p(x)$ で $p(A) = 0$ となるもの。

  • 最小多項式は、行列の代数的性質を簡潔に表し、ジョルダン構造と関係します。

• クライロフ部分空間法：反復法の基礎として、ベクトル $b, Ab, A^2b, ...$ により生成される空間を用いる。大規模な線形方程式や固有値問題において、数値的に効率的なアルゴリズムの基礎となります（例：CG法、GMRES法）。

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第8章：ペロン–フロベニウス理論​

(Perron–Frobenius Theory)

この章では、非負行列や確率行列の持つ特異な性質を、固有値・固有ベクトルの視点から扱います。特に、**最大固有値（主固有値）**とその構造の特異性に焦点を当てます。

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8.1 序論 (Introduction)​

• この理論は、非負行列や確率行列の最大固有値の構造的特徴に関するもので、経済学、行列ゲーム、マルコフ過程、ネットワーク理論など幅広い分野に応用されます。

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8.2 正行列 (Positive Matrices)​

• すべての成分が正の行列について、以下のペロンの定理が成り立ちます：

  • 実かつ正の最大固有値（ペロン根）が存在する
  • それに対応する固有ベクトルもすべて正の成分を持つ
  • 最大固有値は他の固有値の絶対値よりも大きい

この性質は、繰り返し行列を掛けたときに、長期的にはペロン固有ベクトルの方向に収束していくことを意味します。

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8.3 非負行列 (Nonnegative Matrices)​

• すべての要素が 0 以上の行列（非負行列）にも似た性質がありますが、一般には正行列ほど強い結論は得られません。
• 行列の**既約性（irreducibility）**などの条件を満たすことで、ペロン–フロベニウス型の結果が成立します。
• 非負行列に対しても、最大固有値は存在し、その固有ベクトルは非負になります。

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8.4 確率行列とマルコフ連鎖 (Stochastic Matrices and Markov Chains)​

• **確率行列（行和が1）**は、マルコフ連鎖の遷移行列として用いられます。

  • 状態の遷移確率を表す

• ペロン–フロベニウス理論により、**定常分布（stationary distribution）**の存在と一意性が保証されます（行列が既約かつアペリオディックであれば）。

• 長期的には、遷移行列を何度も掛けた結果は定常状態ベクトルに収束します。

  • これは、Google の PageRank アルゴリズムや、遺伝子発現モデルなどにも応用されています。

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まとめ​

『Matrix Analysis and Applied Linear Algebra』は、行列理論と線形代数の基礎から応用までを体系的に解説した教科書です。ガウスの消去法から固有値解析、SVD、マルコフ連鎖まで幅広く網羅し、理論と計算のバランスが取れています。図や例が豊富で直感的理解を促し、実用的な問題解決力を養う構成です。工学・物理・データ科学など多分野に応用可能な内容が詰まっています。線形代数を本質から深く学びたい人に最適な一冊です。

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