What You Can Learn from Mathematical Proofs

A Mathematical Proofs Guide by the University of Dating​

『Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics』は、Gary Chartrand、Albert D. Polimeni、Ping Zhangによって著された、数学の証明方法に関する入門書であり、大学の初年度や数学の学習者を対象にしています。この本は、計算中心の数学から理論的で抽象的な数学への橋渡しを行うことを目的としており、数学的な証明を理解し、作成できるようになるための道筋を提供します。

この本の内容について詳しく説明します。

1. 数学的証明の基本的な考え方​

本書では、まず「証明」という概念の重要性とその役割について説明しています。数学において証明とは、ある主張や定理が真であることを論理的に示す過程です。著者たちは、証明を理解するために、数学的論理、命題、命題間の関係をしっかりと理解することが必要であると強調します。証明の形式的な要素や、その構造を分かりやすく解説しています。

2. 論理と命題​

証明を行うためには、まず「命題」や「論理」の理解が必要です。本書では、命題がどのように成り立ち、どのようにしてそれらを組み合わせて新しい命題を作り出すかを説明しています。命題は真か偽かのいずれかであり、その証明において「論理的な推論」を使用します。命題に関する基本的な操作（論理積、論理和、含意、同値など）についても取り扱っています。

3. 証明技法の紹介​

本書では、さまざまな証明技法が紹介されています。特に以下のような技法が取り上げられています：

• 直接証明 (Direct Proof): 仮定から直接的に結論を導く証明方法。
• 背理法 (Proof by Contradiction): ある命題が真でないと仮定し、その矛盾を導き出すことで命題が真であることを証明する方法。
• 数学的帰納法 (Mathematical Induction): 自然数に関する命題を証明するための手法で、基礎ケースと帰納ステップを用いて証明します。
• 反例 (Counterexample): 仮定が成り立たない例を示すことで、命題が真でないことを証明する方法。

これらの証明技法が詳細に解説され、実際の問題にどのように適用されるかが示されています。

4. 集合論と関数​

集合論は、現代数学の基礎となる分野であり、証明を行う際に非常に重要です。著者たちは集合の基本的な性質（要素、部分集合、交差、和、差など）について説明し、集合を扱うための証明技法を紹介しています。また、関数の概念やその性質についても述べ、関数に関する証明問題についても取り上げています。

5. 実数の性質と順序​

実数の順序や上限、下限の性質は、特に解析学において重要です。実数に関連する証明では、順序体としての実数の性質を利用することが多いため、この部分はしっかりと理解しておく必要があります。

6. 具体的な例題と演習問題​

本書は理論的な内容に加えて、具体的な例題と演習問題を多数提供しており、読者が自分で問題を解きながら理解を深めることができます。演習問題は、単純な問題から少し難易度の高い問題まで多岐にわたり、読者が証明技法を実践的に学ぶ手助けとなります。

7. 証明のスタイルと精度​

証明の正確性とスタイルに関する解説も重要なポイントです。本書では、証明を書く際に必要な注意点（論理的な一貫性、明確な説明、冗長を避けるなど）を説明し、読者が適切な証明の仕方を学べるようになっています。

8. 数学的な思考法の重要性​

この本は単に証明のテクニックを学ぶだけでなく、数学的な思考法を身につけることを目的としています。著者たちは、問題を論理的に整理し、証明に向かって着実に進む思考のプロセスを重要視しています。このような思考法は、他の分野の問題解決にも応用可能です。

各章の詳細​

『Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics』(Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang)は、数学の証明の基本から応用までを段階的に学べる本です。この本は、数学を学ぶ過程において重要な証明技法や概念を扱っており、各章を通じて理論を深めていきます。以下に、各章の内容について日本語で詳しく解説します。

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0. Communicating Mathematics​

この章は、数学を学ぶために必要なコミュニケーションスキルを強調しています。

• 0.1 Learning Mathematics: 数学を効果的に学ぶための方法やアプローチについて説明します。理解を深めるために、練習と反復が重要であることが強調されます。

• 0.2 What Others Have Said About Writing: 数学的な執筆に関する他の学者の見解を紹介します。論理的で簡潔な書き方が求められます。

• 0.3 Mathematical Writing: 数学の文章を書く上で重要なポイントを解説します。簡潔で誤解を招かない表現が必要です。

• 0.4 Using Symbols: 数式や記号の使い方についての説明。記号は数学的な正確さを保ちながら、効率的にコミュニケーションを図るための重要なツールです。

• 0.5 Writing Mathematical Expressions: 数学的表現をどのように書くべきかについての詳細なガイドです。具体的な例を交えて説明されます。

• 0.6 Common Words and Phrases in Mathematics: 数学でよく使われる言葉やフレーズを紹介します。これらを知っておくことで、証明や論文の理解が容易になります。

• 0.7 Some Closing Comments About Writing: 数学的な書き方の総まとめとして、良い数学的文章を書くためのアドバイスが述べられます。

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1. Sets​

集合論に関する章です。

• 1.1 Describing a Set: 集合の定義と記述方法。集合は要素の集まりとして定義されます。

• 1.2 Subsets: 部分集合の概念と、その特性について説明します。

• 1.3 Set Operations: 集合に対する基本的な演算（和、積、差など）の紹介。

• 1.4 Indexed Collections of Sets: 添字付き集合の集合について、特に無限集合の扱い方に焦点を当てます。

• 1.5 Partitions of Sets: 集合の分割（パーティション）について。

• 1.6 Cartesian Products of Sets: カルテジアン積（直積）について、2つ以上の集合の積の取り方を説明します。

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2. Logic​

論理の基礎について解説する章です。

• 2.1 Statements: 数学における命題（ステートメント）とは何か、命題の基本を学びます。

• 2.2 The Negation of a Statement: 命題の否定の方法とその意味を説明します。

• 2.3 The Disjunction and Conjunction of Statements: 論理和（OR）と論理積（AND）の概念とその性質。

• 2.4 The Implication: 命題の含意（if-then）に関する論理の詳細。

• 2.5 More On Implications: 含意の性質や論理的背景を深掘りします。

• 2.6 The Biconditional: 双方向命題の理解（if and only if）。

• 2.7 Tautologies and Contradictions: 自明に真である命題（恒真命題）と自明に偽である命題（矛盾命題）について。

• 2.8 Logical Equivalence: 論理的同値性とは、2つの命題が論理的に等価であることの定義です。

• 2.9 Some Fundamental Properties of Logical Equivalence: 論理的同値性の基本的な性質。

• 2.10 Quantified Statements: 全称量化子や存在量化子を使った命題について。

• 2.11 Characterizations of Statements: 命題の特徴づけ、特に命題が真または偽であることに関する分類。

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3. Direct Proof and Proof by Contrapositive​

直接証明と逆命題による証明の方法についての章です。

• 3.1 Trivial and Vacuous Proofs: 自明な証明と空証明の紹介。

• 3.2 Direct Proofs: 直接証明の方法を学びます。仮定から結論へと直接導く方法。

• 3.3 Proof by Contrapositive: 逆命題を使った証明の技法。

• 3.4 Proof by Cases: ケース分けを使った証明。

• 3.5 Proof Evaluations: 提案された証明の評価方法。

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4. More on Direct Proof and Proof by Contrapositive​

さらに直接証明と逆命題証明について詳しく掘り下げます。

• 4.1 Proofs Involving Divisibility of Integers: 整数の割り算に関連する証明。

• 4.2 Proofs Involving Congruence of Integers: 整数の合同に関する証明。

• 4.3 Proofs Involving Real Numbers: 実数に関する証明。

• 4.4 Proofs Involving Sets: 集合に関連する証明。

• 4.5 Fundamental Properties of Set Operations: 集合演算の基本的な性質。

• 4.6 Proofs Involving Cartesian Products of Sets: 集合の直積に関する証明。

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5. Existence and Proof by Contradiction​

存在証明と背理法に関する章です。

• 5.1 Counterexamples: 反例の使い方とその役割。

• 5.2 Proof by Contradiction: 背理法による証明の方法。

• 5.3 A Review of Three Proof Techniques: これまでに学んだ3つの証明技法の復習。

• 5.4 Existence Proofs: 存在証明の方法。

• 5.5 Disproving Existence Statements: 存在に関する命題の反証方法。

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6. Mathematical Induction​

数学的帰納法についての章です。

• 6.1 The Principle of Mathematical Induction: 数学的帰納法の基本原理。

• 6.2 A More General Principle of Mathematical Induction: 一般化された数学的帰納法の原理。

• 6.3 Proof By Minimum Counterexample: 最小反例を用いた証明法。

• 6.4 The Strong Principle of Mathematical Induction: 強い数学的帰納法の原理。

7. Reviewing Proof Techniques​

この章は、これまで学んだ証明技法を復習し、深く理解することを目的としています。

• 7.1 Reviewing Direct Proof and Proof by Contrapositive: 直接証明と逆命題による証明の復習。

• 7.2 Reviewing Proof by Contradiction and Existence Proofs: 背理法と存在証明の復習。

• 7.3 Reviewing Induction Proofs: 数学的帰納法による証明の復習。

• 7.4 Reviewing Evaluations of Proposed Proofs: 提案された証明の評価方法を再確認します。

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8. Prove or Disprove​

この章は、命題が真であるか偽であるかを証明する方法に焦点を当てています。

• 8.1 Conjectures in Mathematics: 数学における予想（コジェクチャ）とその証明または反証の重要性について解説します。

• 8.2 Revisiting Quantified Statements: 量化された命題を再度検討し、どのように証明または反証できるかを学びます。

• 8.3 Testing Statements: 命題をテストして真偽を確認する方法について説明します。

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9. Equivalence Relations​

同値関係に関する章です。

• 9.1 Relations: 関係の定義と、集合の要素間の関係の理解について学びます。

• 9.2 Properties of Relations: 関係の基本的な性質（反射性、対称性、推移性など）について説明します。

• 9.3 Equivalence Relations: 同値関係の定義とその性質について詳しく解説します。

• 9.4 Properties of Equivalence Classes: 同値類の性質を学び、同値関係を使った分割方法を理解します。

• 9.5 Congruence Modulo n: 数学での合同関係（合同式）について説明します。

• 9.6 The Integers Modulo n: 整数の合同の概念を、モジュロ演算を通じて詳しく学びます。

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10. Functions​

関数の基礎とその性質についての章です。

• 10.1 The Definition of Function: 関数の定義とその基礎的な理解。

• 10.2 The Set of All Functions From A to B: 集合AからBへの関数の集合について学びます。

• 10.3 One-to-one and Onto Functions: 単射（One-to-one）と全射（Onto）の定義とそれらの関数の性質。

• 10.4 Bijective Functions: 双射（Bijective）関数について、その定義と性質を解説します。

• 10.5 Composition of Functions: 関数の合成の方法とその性質について学びます。

• 10.6 Inverse Functions: 逆関数の定義と、その求め方について詳しく説明します。

• 10.7 Permutations: 順列（Permutation）について、その計算方法や性質を学びます。

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11. Cardinalities of Sets​

集合の濃度（Cardinality）に関する章です。

• 11.1 Numerically Equivalent Sets: 数的に同等な集合とは何か、その定義と例。

• 11.2 Denumerable Sets: 可算集合について、無限集合でも要素が数えられる集合の概念を学びます。

• 11.3 Uncountable Sets: 非可算集合について、無限集合の中でも数えきれない集合を理解します。

• 11.4 Comparing Cardinalities of Sets: 集合の濃度を比較する方法。

• 11.5 The Schröder - Bernstein Theorem: シュレーダー-バーンシュタイン定理について、その証明と応用を学びます。

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12. Proofs in Number Theory​

数論における証明についての章です。

• 12.1 Divisibility Properties of Integers: 整数の除算に関する性質と証明方法。

• 12.2 The Division Algorithm: 除算アルゴリズム、特に整数の商と余りの扱いについて説明します。

• 12.3 Greatest Common Divisors: 最大公約数の定義とその計算方法について学びます。

• 12.4 The Euclidean Algorithm: ユークリッドの互除法を用いた最大公約数の求め方。

• 12.5 Relatively Prime Integers: 互いに素な整数について、その性質と証明方法。

• 12.6 The Fundamental Theorem of Arithmetic: 算術の基本定理（素因数分解の一意性）について解説します。

• 12.7 Concepts Involving Sums of Divisors: 約数の和に関連する概念。

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13. Proofs in Combinatorics​

組み合わせ論における証明についての章です。

• 13.1 The Multiplication and Addition Principles: 組み合わせ論における基本的な掛け算と足し算の原理を学びます。

• 13.2 The Principle of Inclusion-Exclusion: 包除原理（Inclusion-Exclusion Principle）の理解と応用。

• 13.3 The Pigeonhole Principle: ハトの巣原理（Pigeonhole Principle）を使った証明方法。

• 13.4 Permutations and Combinations: 順列と組み合わせについての詳細な解説。

• 13.5 The Pascal Triangle: パスカルの三角形とその応用。

• 13.6 The Binomial Theorem: 二項定理の証明とその応用。

• 13.7 Permutations and Combinations with Repetition: 繰り返しを許す順列と組み合わせ。

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14. Proofs in Calculus​

微積分に関する証明を学ぶ章です。

• 14.1 Limits of Sequences: 数列の極限の証明方法。

• 14.2 Infinite Series: 無限級数の収束性とその証明方法。

• 14.3 Limits of Functions: 関数の極限に関する証明。

• 14.4 Fundamental Properties of Limits of Functions: 関数の極限の基本的な性質。

• 14.5 Continuity: 関数の連続性について。

• 14.6 Differentiability: 関数の微分可能性について学びます。

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15. Proofs in Group Theory​

群論に関する証明です。

• 15.1 Binary Operations: 二項演算の定義とその性質。

• 15.2 Groups: 群の定義とその基本的な性質。

• 15.3 Permutation Groups: 順列群についての理解。

• 15.4 Fundamental Properties of Groups: 群の基本的な性質（単位元、逆元、結合法則）。

• 15.5 Subgroups: 部分群の定義と性質。

• 15.6 Isomorphic Groups: 同型群の概念とその証明方法。

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16. Proofs in Ring Theory (Online)​

環論に関する証明です（オンラインのみ）。

• 16.1 Rings: 環の定義とその性質。

• 16.2 Elementary Properties of Rings: 環の基本的な性質について。

• 16.3 Subrings: 部分環の定義と性質。

• 16.4 Integral Domains: 整域の定義と性質。

• 16.5 Fields: 領域（体）の定義と性質。

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17. Proofs in Linear Algebra (Online)​

線形代数に関する証明です（オンラインのみ）。

• 17.1 Properties of Vectors in 3-Space: 3次元空間のベクトルの性質。

• 17.2 Vector Spaces: ベクトル空間の定義と性質。

• 17.3 Matrices: 行列の定義とその演算。

• 17.4 Some Properties of Vector Spaces: ベクトル空間の基本的な性質。

• 17.5 Subspaces: 部分空間の定義と性質。

• 17.6 Spans of Vectors: ベクトルの張る空間について。

• 17.7 Linear Dependence and Independence: 線形従属と線形独立の定義と証明。

• 17.8 Linear Transformations: 線形変換の定義とその性質。

• 17.9 Properties of Linear Transformations: 線形変換の基本的な性質。

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18. Proofs with Real and Complex Numbers (Online)​

実数と複素数に関する証明です（オンラインのみ）。

• 18.1 The Real Numbers as an Ordered Field: 実数を順序体として理解します。

• 18.2 The Real Numbers and the Completeness Axiom: 実数の完備性公理。

• 18.3 Open and Closed Sets of Real Numbers: 実数の開集合と閉集合の定義。

• 18.4 Compact Sets of Real Numbers: 実数のコンパクト集合の定義と性質。

• 18.5 Complex Numbers: 複素数の定義と基本的な性質。

• 18.6 De Moivre's Theorem and Euler's Formula: ド・モアブルの定理とオイラーの公式について学びます。

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19. Proofs in Topology (Online)​

位相空間に関する証明です（オンラインのみ）。

• 19.1 Metric Spaces: 距離空間の定義と性質。

• 19.2 Open Sets in Metric Spaces: 距離空間における開集合の概念。

• 19.3 Continuity in Metric Spaces: 距離空間における連続性。

• 19.4 Topological Spaces: 位相空間の定義とその基本的な性質。

• 19.5 Continuity in Topological Spaces: 位相空間における連続性の理解。

まとめ​

『Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics』は、数学的な証明の基礎から応用までをカバーしており、初心者が抽象的な数学の世界に足を踏み入れるための良い入門書です。証明技法を理解することで、数学的な論理を扱う力が養われ、より高度な数学の学習へと進むための土台を築くことができます。

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