What You Can Learn from Mathematical Problem Solving

A Mathematical Problem Solving Guide by the University of Dating​

『Mathematical Problem Solving』(Alan H. Schoenfeld アラン・H・ショーンフェルド著)は、数学的問題解決のプロセスを深く探求し、効果的な問題解決を促進するための要素を明らかにする名著です。本書は、数学的行動の分析枠組みを提供し、問題解決に関する知識を増進させるために必要なリソース、ヒューリスティック（問題解決のための方法や戦略）、制御、信念体系などの要素を取り上げています。

1. Overview of Mathematical Problem Solving​

『Mathematical Problem Solving』は、数学の問題解決を単に解答を得るための方法としてだけでなく、そのプロセスとして重要視します。著者であるアラン・ショーンフェルドは、問題解決における思考の過程を詳細に分析し、問題解決能力を育てるための教育的アプローチを提案しています。

数学的問題解決の概要
この本は、数学的問題解決を単なる解答取得のプロセスにとどまらず、問題に対するアプローチや考え方を深く掘り下げることの重要性を強調しています。ショーンフェルドは、数学的な思考がどのように発展するのか、どのようにして数学を効果的に学び、教えることができるのかを解説しています。

2. Cognitive Processes in Problem Solving​

問題解決における認知過程についても多くの議論が展開されています。ショーンフェルドは、問題を解く過程で数学者がどのように思考し、解法に至るかを解説します。これにより、学習者は単に定理を覚えるのではなく、どのようにして問題を自分の力で解決できるかを学びます。

問題解決における認知過程
本書では、数学の問題解決に必要な認知的なスキルや戦略がどのように発展するのか、またどのようにしてそのスキルを学び、向上させるかを詳細に解説しています。ショーンフェルドは、問題解決のプロセスが「洞察」と「試行錯誤」の繰り返しであり、数学的思考がどのように成熟するのかを描いています。

3. Teaching and Learning Problem Solving​

ショーンフェルドは、教育者に対しても非常に多くのアドバイスを提供しています。特に、問題解決能力をどのようにして学生に教えるか、どのようにして学習者の問題解決力を引き出すかに関する洞察は非常に貴重です。この本は教師だけでなく、教育の理論に関心のある研究者にも大いに役立ちます。

問題解決の教育と学習
本書では、教育者が学生に対してどのように効果的に問題解決を教えることができるかについて、具体的な戦略と事例を通じて説明しています。また、問題解決能力の育成において重要な役割を果たすのが、学生が自ら考え、挑戦し続ける姿勢を持つことだという点が強調されています。

4. Strategies for Problem Solving​

ショーンフェルドは、数学的な問題解決における具体的な戦略をいくつか紹介しています。これらの戦略は、問題の理解から解法の構築、さらには解答の検証に至るまで、問題解決の一連の流れをサポートします。

問題解決の戦略
数学の問題を解くための効果的な戦略としては、問題を小さな部分に分ける、逆算して解く、パターンを見つける、問題の条件を再確認するなどがあります。ショーンフェルドは、こうした戦略がどのように問題解決に役立つかを事例を挙げて解説しています。

5. The Role of Metacognition​

メタ認知（自分の思考を監視し、調整する能力）の重要性にも触れています。問題解決において、自分の考え方を意識的に振り返り、必要に応じて戦略を変える能力が、効果的な学びを生むためには不可欠です。

メタ認知の役割
本書では、問題解決の過程でメタ認知がどのように機能するかを解説しています。学生が自分の思考過程を振り返り、解法に対するアプローチを修正することが、問題解決能力を高めるための重要な要素であることが強調されています。

6. Real-Life Applications​

数学の問題解決能力は、教室内だけでなく、実生活にも応用できます。この本では、数学的な問題解決がどのように日常生活の課題に役立つのかについても考察されています。

実生活への応用
数学の問題解決能力は、理論的な学問を越えて、実際の生活で役立つスキルです。例えば、予算管理や計画立て、リスクの評価など、さまざまな実生活のシーンで数学的な問題解決能力を活かすことができます。

各章の紹介​

以下、各章の内容を説明します。

1. A Framework for the Analysis of Mathematical Behavior​

この章では、数学的な問題解決行動を分析するための枠組みを提案しています。著者は、問題解決を単なる操作の連続として捉えるのではなく、問題を解くためにどのような認知的・戦略的な行動が行われているかを詳細に分析します。ここでの「枠組み」は、問題解決を理解するための理論的な土台となり、さまざまな要因（知識、戦略、メタ認知など）がどのように作用し合うのかを示唆しています。

2. Resources​

「リソース」とは、数学的な問題解決に必要なすべての資源を指します。この章では、問題解決に必要な認知的なリソース（例えば、数学的知識や技能）と外的なリソース（例えば、ノート、計算機など）について考察します。特に、これらのリソースをどのように活用するかが問題解決の成否に大きく影響することが説明されています。

3. Heuristics​

「ヒューリスティックス」とは、問題解決をする際に用いる経験則や戦略のことです。この章では、問題解決者がどのような方法で問題をアプローチし、試行錯誤を繰り返しながら解を導くかについて述べています。ヒューリスティックは、完璧な解法ではなく、時間やリソースが限られている状況下で有効な方法であることが強調されています。

4. Control​

「制御」は、問題解決の過程でのメタ認知的な管理能力に関する章です。問題解決者は、問題を解く過程でどのように自分の行動を調整し、進捗を監視し、必要に応じて戦略を変更するのかが重要です。この章では、どのようにして効果的に制御を行うか、そしてその制御が問題解決においてどれほど重要であるかが論じられています。

5. Belief Systems​

この章では、数学的な問題解決における信念体系に焦点を当てています。問題解決者が数学や自分の能力についてどのように信じているか（信念）が、解決策の選択や問題へのアプローチ方法に大きく影響することを説明します。信念体系がポジティブであれば、問題解決に対するアプローチも積極的になりますが、逆にネガティブであれば、問題に対する耐性や挑戦の仕方にも影響を与えることがわかります。

6. Explicit Heuristic Training as a Variable in Problem-Solving Performance​

この章では、明示的なヒューリスティック（問題解決戦略）の訓練が問題解決のパフォーマンスにどのように影響するかを探求します。ヒューリスティックを意識的に学び、使うことで、問題解決能力が向上する可能性があることが示され、訓練がどのように行われるべきかについて具体的な方法が提案されています。

7. Measures of Problem-Solving Performance and Problem-Solving Instruction​

この章では、問題解決のパフォーマンスを測定する方法と、それを向上させるための教育的アプローチについて論じています。問題解決を評価するための指標を設定することが重要であり、効果的な問題解決指導法がどのように構築されるべきかについても触れています。

8. Problem Perception, Knowledge Structure, and Problem-Solving Performance​

問題解決における「問題の認識」と「知識の構造」がパフォーマンスにどのように影響するかに関する章です。問題をどう捉え、どのように知識を活用するかが問題解決の成功に直結するため、認識のフレームワークや知識の構造化が重要であることが強調されます。問題の捉え方や思考の枠組みが、問題解決の結果を大きく変えることが示されています。

9. Verbal Data, Protocol Analysis, and the Issue of Control​

言語データやプロトコル分析を用いて、問題解決過程をどのように解明するかを探求します。問題解決者が口にする言葉や思考過程の記録が、どのように問題解決のパターンや戦略を明らかにするのか、またその過程での「制御」の問題がどのように関連するかについて詳述されています。

10. The Roots of Belief​

信念の根源について考察する章です。問題解決者が数学的な問題に取り組む際に持つ信念は、どこから生じるのか、そしてその信念がどのように問題解決に影響を与えるのかを探ります。教育や過去の経験、社会的な影響などが信念形成にどのように作用するかを掘り下げ、問題解決における心理的な側面がいかに重要であるかを強調しています。

まとめ​

『Mathematical Problem Solving』は、数学的な問題解決のプロセスを深く理解し、その過程を通じて学生の思考を育てるための貴重な教材です。問題解決の戦略や認知過程、そしてメタ認知の役割に至るまで、幅広い視点からアプローチしており、数学教育に携わる人々にとって必読の書となっています。また、学習者がどのようにして問題解決能力を向上させることができるかを考える上で、非常に有益な内容が詰まっています。

この本は数学の学び方や教育方法に関心があるすべての人々にとって、有意義な洞察を与えてくれる一冊です。

この本を通じて、数学的問題解決が単なる計算能力にとどまらず、複雑な認知的・心理的なプロセスの集合体であることが明らかになります。問題解決能力を高めるためには、戦略や知識だけでなく、認知的な制御や信念体系といった要素に焦点を当てることが必要であるという示唆が得られます。

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